Question

6．观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）；
第2个等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；
第3个等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；
第4个等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）…
请解答下列问题：
（1）用含有n（n为正整数）的式子表示第n个等式；
（2）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值．

Answer 1

分析 （1）由已知等式知，连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半，据此可得；
（2）根据以上规律可得原式=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$），即可得出答案．

解答 解：（1）由已知等式知，连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半，
∴第n个等式为$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；

（2）原式=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{200}{201}$
=$\frac{100}{201}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半且掌握裂项求和是解题的关键．