Question

如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．求证：CF=BF．

Answer 1

证明：连接AC，如图，
∵C是弧BD的中点，
∴∠DBC=∠BAC，
在三角形ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
又C是弧BD的中点，
∴∠DBC=∠CDB，
∴∠BCE=∠DBC，
∴CF=BF．
分析：连AC，由AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，而CE⊥AB，所以∠BAC=∠BCE；由C是弧BD的中点，得到∠DBC=∠BAC，于是∠BCE=∠DBC，即可得到CF=BF．
点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
也考查了直径所对的圆周角为90度和等角的余角相等．