Question

如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心、OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H。

（1）求证：AE＝CK

（2）若AB＝a，AD＝a（a为常数），求BK的长（用含a的代数式表示）。

（3）若F是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长。

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3），6．

【解析】

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAE=∠BCK，

∵BK⊥AC，DH∥KB，

∴∠BKC=∠AED=90°，

∴△BKC≌△ADE，

∴AE=CK；

（3）连结OG，

∵AC⊥DG，AC是⊙O的直径，DE=6，∴DE=EG=6，

又∵EF=FG，∴EF=3；

连接BG可得△BGF≌△AEF，AF=BF，△ADF≌△BHF

∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，

∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．三角形中位线定理；4．垂径定理．