Question

19．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，求证：AE=AC．
（2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE；然后结合角平分线的性质和等量代换推知∠E=∠ACE，根据等角对等边，即可解答；
（2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，求出BF=CN，AE=AN，BE=BF．设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC-CN=7-x，BE=AB+AE=4+7-x．得出方程4+7-x=x．求出即可．

解答 解：（1）∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠DAC=∠ACE，
∴∠E=∠ACE，
∴AE=AC．
（2）如图，延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，
∴∠3=∠C，∠F=∠4
∵M为BC的中点
∴BM=CM．
在△BFM和△CNM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠4}\\{∠3=∠C}\\{BM=CM}\end{array}\right.$
∴△BFM≌△CNM（AAS），
∴BF=CN，
∵MN∥AD，
∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．
∴∠E=∠5=∠F．
∴AE=AN，BE=BF．
设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC-CN=7-x，BE=AB+AE=4+7-x．
∴4+7-x=x．
解得 x=5.5．
∴CN=5.5．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，在（2）中作出辅助线是解决本题的关键．