Question

如图，抛物线y=-x²+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，连接DB，在抛物线上是否存在一点P，使∠DBP=∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：存在型

分析：作DH⊥BC于H，PE⊥x轴于E，先根据抛物线与x轴的交点问题确定A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0），则确定C点坐标为（0，4），则△OBC为等腰直角三角形，所以∠OBC=45°，BC=4

2

；由于CD∥AB，则∠BCD=45°，所以△CDH为等腰三角形，于是得到CH=DH=

2

2

CD；再把y=4代入y=-x²+3x+4可确定D点坐标为（3，4），则CH=DH=

3 2

2

，BH=

5 2

2

，然后证明Rt△EBP∽Rt△HBD，设P点坐标为（x，-x²+3x+4），利用相似比得到5x²-18x-8=0，解得x₁=-

2

5

，x₂=4，于是把x=-

2

5

代入抛物线解析式计算出对应的函数值，从而可得到P点坐标．

解答：解：存在．
作DH⊥BC于H，PE⊥x轴于E，如图，
令y=0，则-x²+3x+4=0，解得x₁=-1，x₂=4，则A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0），
令x=0，则y=4，则C点坐标为（0，4），
∵OB=OC=4，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=4

2

，
∵CD∥AB，
∴∠BCD=45°，
∴△CDH为等腰三角形，
∴CH=DH=

2

2

CD，
把y=4代入y=-x²+3x+4得-x²+3x+4=4，解得得x₁=0，x₂=3，则D点坐标为（3，4），
∴CD=3，
∴CH=DH=

3 2

2

，
∴BH=4

2

-

3 2

2

=

5 2

2

，
∵∠DBP=∠ABC=45°，
∴∠EBP=∠HBD，
∴Rt△EBP∽Rt△HBD，
∴

PE

DH

=

BE

BH

，
设P点坐标为（x，-x²+3x+4），
∴

-x2+3x+4

3 2 2

=

4-x

5 2 2

，
整理得5x²-18x-8=0，
解得x₁=-

2

5

，x₂=4，
当x=-

2

5

时，y=-x²+3x+4=

66

25

，
∴P点坐标为（-

2

5

，

66

25

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．