Question

如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AD平分∠BAC交⊙O于D，过点D作EF∥BC分别交AB、AC延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若EB=2，ED=4，求AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OD，根据角平分线定义得∠BAD=∠CAD，根据圆周角定理得

BD

=

CD

，则根据垂径定理的推论得OD⊥BC，由于BC∥EF，根据平行线的性质得OD⊥EF，于是可根据切线的性质可得到EF为⊙O的切线；
（2）根据平行线的性质由BC∥EF得到∠EDB=∠DBC，而

BD

=

CD

，根据圆周角定理得∠DBC=∠BAD，则可证明△EDB∽△EAD，然后根据相似比可计算出AE，再利用AB=AE-EB进行计算．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：∵BC∥EF，
∴∠EDB=∠DBC，
而

BD

=

CD

，
∴∠DBC=∠BAD，
∴∠EDB=∠EAD，
而∠DEB=∠AED，
∴△EDB∽△EAD，
∴

ED

EA

=

EB

ED

，即

4

AE

=

2

4

，
∴AE=8
∴AB=AE-EB=6．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理和垂径定理．