Question

【题目】如图，抛物线经过三点A（1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以B，P，M为顶点的三角形与△OBC相似（相似比不为1）？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）此抛物线的解析式为．（2）存在．符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）.

【解析】

试题分析：（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2，再根据过A，B两点，即可得出结果．

（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当=时和时，当P，C重合时，△APM≌△ACO，分别求出点P的坐标即可．

解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），

∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．

将A（1，0），B（4，0）代入，

得，解得，

∴此抛物线的解析式为．

（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，

则P点的纵坐标为﹣m2+m﹣2，

当1＜m＜4时，AM=4﹣m，PM=﹣﹣m2+m﹣2，

又∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①当=时，

∵C在抛物线上，

∴OC=2，

∵OA=4，

∴==2时，

∴△APM∽△ACO，

即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），

解得m1=2，m2=4（舍去），

∴P（2，1）．

②当时，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，

解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）

∴当1＜m＜4时，P（2，1），

当m＞4时，AM=m﹣4，PM=m2﹣m+2，

①，②=时，

把P（m，﹣m2+m﹣2），代入得：2（﹣m2+m﹣2）=m﹣4，2（m﹣4）=﹣m2+m﹣2，

解得：第一个方程的解是m=﹣2﹣2＜4（舍去）m=﹣2+2＜4（舍去），

第二个方程的解是m=5，m=4（舍去）

求出m=5，=﹣m2+m﹣2=﹣2，

则P（5，﹣2），

当m＜1时，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，

①，②=时，

则：2（m2﹣m+2）=4﹣m，2（4﹣m）=m2﹣m+2，

解得：第一个方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二个方程的解是m=4（舍去），m=﹣3，

m=﹣3时，﹣m2+m﹣2=﹣14，

则P（﹣3，﹣14），

综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14），