Question

10．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．
（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD=4，连接AP，求AP的长．
（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在RT△BCP中利用勾股定理求出PB，在RT△ABP中利用勾股定理求出PA即可．
（2）如图2中，延长PM交BC于E．先证明PD=BE，再利用三角形中位线定理证明MN=$\frac{1}{2}$BE，ON=$\frac{1}{2}$PD即可．

解答 解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=10，AB∥CD
∵PD=4，
∴PC=6，
∵PB⊥CD，
∴PB⊥AB，
∴∠CPB=∠ABP=90°，
在RT△PCB中，∵∠CPB=90°PC=6，BC=10，
∴PB=$\sqrt{B{C}^{2}-P{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
在RT△ABP中，∵∠ABP=90°，AB=10，PB=8，
∴PA=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{41}$．
（2）△OMN是等腰三角形．
理由：如图2中，延长PM交BC于E．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，CB=CD，
∵PE⊥AC，
∴PE∥BD，
∴$\frac{PC}{CD}$=$\frac{CE}{CB}$，
∴CP=CE，
∴PD=BE，
∵CP=CE，CM⊥PE，
∴PM=ME，
∵PN=NB，
∴MN=$\frac{1}{2}$BE，
∵BO=OD，BN=NP，
∴ON=$\frac{1}{2}$PD，
∴ON=MN，
∴△OMN是等腰三角形．

点评 本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造，利用三角形中位线定理解决问题，属于中考常考题型．