Question

16．如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．

（1）求证：$\frac{BC}{AB}$=$\frac{EF}{DE}$；
（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即T（A）=$\frac{∠A的对边（底边）}{∠A的邻边（腰）}$=$\frac{BC}{AB}$，如T（60°）=1．
①理解巩固：T（90°）=$\sqrt{2}$，T（120°）=$\sqrt{3}$，若α是等腰三角形的顶角，则T（α）的取值范围是0＜T（α）＜2；
②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．
（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）

Answer 1

分析 （1）证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，得到扇形的圆心角，根据T（A）的定义解答即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，DE=DF，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AC}{DF}$，
又∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{EF}{DE}$；
（2）①如图1，∠A=90°，AB=AC，
则$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{2}$，
∴T（90°）=$\sqrt{2}$，
如图2，∠A=120°，AB=AC，
作AD⊥BC于D，
则∠B=30°，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
∴BC=$\sqrt{3}$AB，
∴T（120°）=$\sqrt{3}$；
∵AB-AC＜BC＜AB+AC，
∴0＜T（α）＜2，
故答案为：$\sqrt{2}$；$\sqrt{3}$；0＜T（α）＜2；
②∵圆锥的底面直径PQ=8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
则$\frac{n×π×9}{180}$=8π，
解得，n=160，
∵T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.6．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及T（A）的定义，正确理解T（A）的定义、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．