Question

【题目】如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的平分线于点C，交AD于点F，过点C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于点E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若＝，求cos∠DAB的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，如图，证明∠DAC=∠OCA得到AD∥OC，再利用平行线的性质得到OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）作OH⊥AD于H，如图，则AH=HF，由四边形OCDH为矩形得到OH=CD，OC=DH，设CD=x，⊙O的半径为r，则AH=2x-r，OA=r，在Rt△OAH中利用勾股定理得到x2+（2x-r）2=r2，解得x=r，然后利用余弦定义求解．

（1）证明：连接OC，如图，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠EAC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴AD∥OC，

∵AD⊥DE，

∴OC⊥DE，

∴CD为⊙O的切线；

（2）作OH⊥AD于H，如图，则AH＝HF，

易得四边形OCDH为矩形，

∴OH＝CD，OC＝DH，

∵＝，

∴设CD＝x，则AD＝2x，

设⊙O的半径为r，

∴AH＝2x﹣r，OA＝r，

在Rt△OAH中，x2+（2x﹣r）2＝r2，解得x＝r，

∴AH＝r，

在Rt△OAH中，．