Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB﹣TS＝，求点R的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）s=﹣t2+4t；（3）当a＝1时，R（2，4），当a＝时，R（，）．

【解析】

（1）由题意可求A（-2，0），B（4，0），将A点代入y=ax2-2ax+4，即可求a的值；

（2）设R（t，﹣t2+t+4），过点R作x、y轴的垂线，垂足分别为R'，R'，可得四边形RR'OR'是矩形，求出S△OCR＝OCRR'＝×4t＝2t，S△ORB＝OBRR'＝×4（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，则有S△RBC＝S△ORB+S△OCR﹣S△OBC＝﹣t2+2t+8+2t﹣×4×4＝﹣t2+4t；

（3）设EF、PD交于点G'，连EG，可证明OP是EG的垂直平分线，过P作KP⊥x轴于K，PW⊥y轴于W，交RT于点H，则四边形PWOK是正方形，设OT＝2a，则TK＝KB＝CW＝2﹣a，HT＝OK＝PW＝2+a，可求HS＝TS﹣HT＝﹣（2+a）＝﹣a，又由tan∠HPS＝，可得，则a＝1或a＝，即可求R得坐标.

解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，AB＝6，

∴A（﹣2，0），B（4，0），

将点A代入y＝ax2﹣2ax+4，则有0＝4a+4a+4，

∴a＝﹣，

∴y＝﹣x2+x+4；

（2）

设R（t，﹣t2+t+4），

过点R作x、y轴的垂线，垂足分别为R'，R'，

则∠RR'O＝∠RR'O＝∠R'OR'＝90°，

∴四边形RR'OR'是矩形，

∴RR'＝OR'＝t，OR'＝RR'＝﹣t2+t+4，

∴S△OCR＝OCRR'＝×4t＝2t，

S△ORB＝OBRR'＝×4（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，

∴S△RBC＝S△ORB+S△OCR﹣S△OBC＝﹣t2+2t+8+2t﹣×4×4＝﹣t2+4t；

（3）

设EF、PD交于点G'，连EG，

∵PD⊥EF，

∴∠FG'G＝∠DG'E＝90°＝∠DOG，

∴∠OFE＝∠GDO，

∵∠DGO＝∠FOE＝90°，EF＝DG，

∴OP是EG的垂直平分线，

∴OP平分∠COB，

过P作KP⊥x轴于K，PW⊥y轴于W，交RT于点H，

则PW＝PK，∠PWO＝∠PKO＝∠WOK＝90°，

∴四边形PWOK是正方形，

∴WO＝OK，

∵OC＝OB＝4，

∴CW＝KB，

∵P在BT垂直平分线上，

∴PT＝PB，

∴TK＝KB＝CW，

设OT＝2a，则TK＝KB＝CW＝2﹣a，

HT＝OK＝PW＝2+a，

∵OB﹣TS＝，

∴HS＝TS﹣HT＝﹣（2+a）＝﹣a，

∵tan∠HPS＝，

∴，

∴a＝1或a＝，

当a＝1时，OT＝2，∴R（2，4），

当a＝时，OT＝，∴R（，）

综上，点R的坐标是（2，4），（，）．