Question

如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．

（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若，求△ABC的周长.

Answer 1

（1）AB＝．
（2）∠ACB是定值.见解析
（3）△ABC的周长为l＝8DE=．

试题分析：（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA=1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的长，然后根据AB＝2AF得出AB的值；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知
＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE，
又因为＝4，所以AB+AC+BC=8DE，由于DH=DG=DE，所以在Rt△CDH中，CH=DE，同理可得CG=DE，又由于AG=AE，BE=BH，所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=2＋2DE，可得：DE=，代入AB+AC+BC=8DE，即可求得周长为．
点评：本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题．