Question

12．已知⊙O的直径为4cm，A是圆上一固定点，弦BC的长为2$\sqrt{2}$cm（A、B、C三点均不重合），当△ABC为等腰三角形时，其底边上的高为2$+\sqrt{2}$或2，或2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 当BC为底边时，如图1，连接AO延长与BC交于F，由全等三角形的判定定理得△ABO≌△ACO，∠BAO=∠CAO，得△AFB≌△ACF，由全等的性质得，BF=CF，由垂径定理得，AF⊥BC，AF为△ABC的高，利用勾股定理可得OF，可得AF的长；
当BC为腰时，如图2，连接BO并延长与AC交于F，由全等三角形的判定定理得△ABO≌△CBO，∠ABO=∠CBO，得△AFB≌△CBF，由全等的性质得，AF=CF，由垂径定理得，AF⊥AC，BF为△ABC的高，由勾股定理逆定理得，△BOC为等腰直角三角形，∠CBO=45°，由等腰三角形的性质得，BF=CF，利用勾股定理可得BF的长；
当如图3所示时，BC为底，利用垂径定理得BF=CF=$\sqrt{2}$，利用勾股定理可得AF的长．

解答 解：当BC为底边时，如图1，连接AO延长与BC交于F，
在△ABO与△ACO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BO=CO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
在△AFB与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠BAO=∠CAO}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△ACF（SAS），
∴BF=CF=$\sqrt{2}$，
∴AF⊥BC，
∴AF为△ABC的高，
在直角△BOF中，
OF=$\sqrt{B{O}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AF=2+$\sqrt{2}$；
当BC为腰时，如图2，连接BO并延长与AC交于F
同理可证得：△ABO≌△CBO，
∴∠ABO=∠CBO，
可得△AFB≌△CBF，
∴AF=CF，
∴AF⊥AC，BF为△ABC的高，
∵OB²+OC²=8，BC²=8，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴CF=BF，
设CF=BF=x，
则2x²=8，
解得：x=2，
∴BF=2，
当如图3所示时，BC为底，
∵AF⊥BC，
∴BF=CF=$\sqrt{2}$，
设AF=x，则OF=2-x，
∴（2-x）²+（$\sqrt{2}$）²=2²，
解得：x=2+$\sqrt{2}$或x=2-$\sqrt{2}$
故答案为：2$+\sqrt{2}$或2，或2-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理及其逆定理，分类讨论是解答此题的关键．