Question

3．对于两个已知图形G₁、G₂，在G₁上任取一点P，在G₂上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为G₁、G₂的“密距”，当线段PQ的长度取最大值时，我们称这个最大的长度为图形G₁，G₂的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-4，4），正方形ABCD的对称中心点O．
（1）线段AB和CD的“密距”是8，“疏距”是8$\sqrt{2}$．
（2）设直线y=-$\frac{3}{4}$x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与正方形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；
（3）在同一平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为4$\sqrt{2}$+2，在旋转过程中，求它与四边形KLMN的“密距”的取值范围．

Answer 1

分析 （1）线段AB与CD的“密距”是AD或BC的长度；
（2）先求得直线OA的解析式，可知直线EF与OA垂直，故点C到直线EF的距离为“疏距”；
（3）当O、K、D在一条直线上时，密距有最小值，当OK⊥AD时，密距有最大值．

解答 解：（1）如图1所示：
由垂线的性质可知：线段AB与CD的“密距”是AD或BC的长度，
故“密距”是8．
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=8$\sqrt{2}$，
“疏距”是8$\sqrt{2}$；
故答案为：8；8$\sqrt{2}$；
（2）如图2所示：
设直线OD的解析式为y=kx，
将x=4，y=4代入函数的解析式得4=4k，
解得：k=1，
∵直线EF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b，
∴直线OB和EF相互垂直．
∵EF与矩形ABCD的“密距”是1，
∴点D到EF的距离最长=8$\sqrt{2}$+1，
即“疏距”=8$\sqrt{2}$+1；
（3）①当K在BD上时，
如图3所示：
正方形ABCD与四边形KLMN的“疏距”为KB=4$\sqrt{2}$+2，
∴KD=BD-BK=8$\sqrt{2}$-（4$\sqrt{2}$+2）=4$\sqrt{2}$-2，
故最大密距=4$\sqrt{2}$-2；
②当OK⊥AD时，
如图4所示：
正方形ABCD与四边形KLMN的“密距”有最小值，
∵正方形的边长为8，
∴O到AD的距离为4，
又由①可知OK=OD-KD=4$\sqrt{2}$-（4$\sqrt{2}$-2）=2，
所以密距的最小值=4-OK=4-2=2，
故密距的范围为：2≤密距≤4$\sqrt{2}$-2．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、勾股定理、两点间的距离、点到直线的距离等知识；本题综合性强，根据题意画出图形是解决问题的关键．题目较为新颖，难度适中．