Question

17．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．
（1）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（2）如图②，当动点M运动到边AO的中点时，求点O与点A′的距离．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AB，由折叠的性质得出AN=BN=$\frac{1}{2}$AB=2.5，证明△AMN∽△ABO，得出对应边相等$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，求出AM，得出OM即可；
（2）连接OA′，由（1）得：△AMN∽△ABO，得出$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，求出AN=$\frac{8}{5}$，由折叠的性质得：A′N=AN=$\frac{8}{5}$，A′A=$\frac{16}{5}$，MN是△OAA′的中位线，由三角形中位线定理得出MN∥OA′，∠AA′O=∠ANM=90°，由勾股定理求出OA′即可．

解答 解：（1）∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
由折叠的性质得：AN=BN=$\frac{1}{2}$AB=2.5，∠ANM=90°=∠AOB，
∵∠NAM=∠OAB，
∴△AMN∽△ABO，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，
即$\frac{AM}{5}=\frac{2.5}{4}$，
解得：AM=$\frac{25}{8}$，
∴OM=OA-AM=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
∴M（$\frac{7}{8}$，0）；
（2）连接OA′，如图所示：
∵M是AO的中点，
∴AM=OM=2，
由（1）得：△AMN∽△ABO，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{OA}$，即$\frac{2}{5}=\frac{AN}{4}$，
解得：AN=$\frac{8}{5}$，
由折叠的性质得：A′N=AN=$\frac{8}{5}$，
∴A′A=$\frac{16}{5}$，MN是△OAA′的中位线，
∴MN∥OA′，∠AA′O=∠ANM=90°，
∴OA′=$\sqrt{O{A}^{2}-A′{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{16}{5}）^{2}}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质；本题有一定难度，特别是（2）中，运用勾股定理和三角形中位线定理得出结果是解决问题的关键．