Question

已知：关于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k-2=0的两个实数根是x₁和x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁²=11-x₂²，求k的值．

Answer 1

解：（1）∵方程有两个实数根，
∴k≠0且△=（2k+1）²-4k（k-2）≥0，
解得：k≥-且k≠0，
∴k的取值范围：k≥-且k≠0．
（2）∵一元二次方程kx²+（2k+1）x+k-2=0的两个实数根是x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=，
∵x₁²=11-x₂²，∴x₁²+x₂²=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=11，
∴-2（）=11，
解得：k=-或k=1，
∵k≥-且k≠0，∴k=1．
分析：（1）由x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k-2=0的两个实数根是x₁和x₂，可得k≠0且△≥0即可求出k的取值范围，
（2）根据根与系数的关系及x₁²=11-x₂²，即可求出k的值．
点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-，x₁x₂=，反过来也成立，即=-（x₁+x₂），=x₁x₂．