Question

已知：关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²=0有两个整数根，m＜5且m为整数．
（1）求m的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x²-2（m+1）x+m²的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；
（3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值．

Answer 1

分析：（1）先根据方程有两个整数根时△≥0且为完全平方数，再由m＜5且m为整数即可求出m的值；
（2）分别求出m=0和m=4时方程的根，再求出m的值，得出抛物线的解析式，然后根据函数图象平移的法则即可得出平移后的二次函数图象的解析式；
（3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，可知直线与平移前或后的抛物线只有一个交点或者过两条抛物线的交点（3，-5），
①当直线y=x+b与平移前或后抛物线只有一个交点时可联立直线与抛物线的解析式，根据△=0求出b的值；
②当直线y=x+b过点（3，-5）时，把此点坐标代入直线解析式即可求出b的值．

解答：解：（1）∵方程x²-2（m+1）x+m²=0有两个整数根，
∴△=4（m+1）²-4m²=8m+4≥0，且为完全平方数．
∵m＜5且m为整数，
∴0≤8m+4＜44，
∴m=0或4；


（2）当m=0时，方程的根为x₁=0，x₂=2；当m=4时，方程的根为x₃=8，x₄=2．
∵方程有两个非零的整数根，
∴m=4，
∴二次函数y=x²-2（m+1）x+m²的解析式是y=x²-10x+16，
将y=x²-10x+16=（x-5）²-9的图象沿x轴向左平移4个单位长度得到：y=（x-1）²-9，
∴平移后的二次函数图象的解析式为y=x²-2x-8；


（3）当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，
可知直线与平移前或后的抛物线只有一个交点或者过两条抛物线的交点（3，-5），
①当直线y=x+b与平移后的抛物线只有一个交点时，
由

y=x2-2x-8 y=x+b.

得方程x²-2x-8=x+b，
即x²-3x-8-b=0，
∴△=41+4b=0，
∴b=-

41

4

；
当直线y=x+b与平移前的抛物线只有一个交点时，
由

y=x2-10x+16 y=x+b

得方程x²-10x+16=x+b，
即x²-11x+16-b=0，
∴△=121-4（16-b）=57+4b=0，
∴b=-

57

4

；
此时直线y=x-

57

4

和平移后的抛物线没交点，故舍去．
②直线y=x+b过点（3，-5）时，b=-8．
综上所述，当直线y=x+b与（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，b=-

41

4

或b=-8．

点评：本题考查的是二次函数综合题，熟知一元二次方程根的判别式及函数图象平移的法则是解答此题的关键．