Question

已知：关于x的一元二次方程x²-2x+c=0的一个实数根为3．
（1）求c的值；
（2）二次函数y=x²-2x+c，当-2＜x≤2时，y的取值范围；
（3）二次函数y=x²-2x+c与x轴交于点A、B（A左B右），顶点为点C，问：是否存在这样的点P，以P为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍后得到△DEF（即△EDF∽△ABC，相似比为2），使得点D、E恰好在二次函数上且DE∥AB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据方程根的定义，把实数根3代入方程进行计算即可求出c的值；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解；
（3）解方程求出点A、B的坐标，然后求出AB的长度，再根据相似比求出DE的长度，然后分：①点D在点E的右边；②点D在点E的左边两种情况，根据二次函数的对称性求出点D的横坐标，然后代入二次函数解析式求出点D的纵坐标，再求出点E的坐标，利用待定系数法求函数解析式求出直线AE、BD的解析式，再根据对应点的连线必过位似中心，联立求解即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²-2x+c=0的一个实数根为3，
∴3²-2×3+c=0，
解得c=-3；

（2）二次函数为y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
x＜1时，y随x的增大而减小，
x＞1时，y随x的增大而增大，
∵-2＜x≤2，
∴当x=-2时，取得最大值为（-2）²-2×（-2）-3=4+4-3=5，
当x=1时，取得最小值为-4，
∴-2＜x≤2时，y的取值范围是-4≤y＜5；

（3）存在．
由x²-2x-3=0得，x₁=-1，x₂=3，
则点A（-1，0），B（3，0），
则AB=3-（-1）=4，
∵△EDF∽△ABC，相似比为2，
∴DE=2×4=8，
∵二次函数为y=x²-2x-3=（x-1）²-4的对称轴为直线x=1，
∴点D的横坐标为5或-3，
①如图1，点D在点E的右边时，点D的横坐标为5，点E的横坐标为-3，
所以，y=5²-2×5-3=12，
此时，点D（5，12），E（-3，12），
设直线AE的解析式为y=kx+b，直线BD的解析式为y=ex+f，
则

-k+b=0 -3k+b=12

，

3e+f=0 5e+f=12

，
解得

k=-6 b=-6

，

e=6 f=-18

，
所以直线AE的解析式为y=-6x+6，
直线BD的解析式为y=6x-18，
联立

y=-6x-6 y=6x-18

，
解得

x=1 y=-12

，
所以，点P的坐标为（1，-12），
②如图2，点D在点E的左边时，点E的横坐标为5，点D的横坐标为-3，
所以，y=5²-2×5-3=12，
此时，点E（5，12），D（-3，12），
设直线AE的解析式为y=kx+b，直线BD的解析式为y=ex+f，
则

-k+b=0 5k+b=12

，

3e+f=0 -3e+f=12

，
解得

k=2 b=2

，

e=-2 f=6

，
所以，直线AE的解析式为y=2x+2，
直线BD的解析式为y=-2x+6，
联立

y=2x+2 y=-2x+6

，
解得

x=1 y=4

，
所以点P的坐标为（1，4）．
综上所述，存在位似中心点P（1，-12）或（1，4）．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要涉及一元二次方程的解，二次函数的增减性，与x轴的交点问题，位似变换，待定系数法求直线解析式，难度较大，综合性较强，（3）因为点D、E的左右位置不明确，所以要分两种情况讨论求解．