Question

20．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一动点，点D为弦AC的中点．
（1）当$\widehat{AC}$=2$\widehat{BC}$，求∠BAC的度数；
（2）若AB=4，当点C在⊙O上运动时，点D始终在一个圆上，请你确定这个圆的圆心以及这个圆的半径．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，由$\widehat{AC}$=2$\widehat{BC}$，可得∠B=2∠A，继而求得答案；
（2）首先连接OD，由点D为弦AC的中点，易得OD是△ABC的中位线，继而可得∠ADO=90°，即可知点D在以OA为直径的圆上，则可求得答案．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵$\widehat{AC}$=2$\widehat{BC}$，
∴∠B=2∠A，
∴3∠A=90°，
解得：∠BAC=30°；

（2）连接OD，
∵OA=OB，点D为弦AC的中点，
∴OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°，
∴点D在以OA为直径的圆上，
∵AB=4，
∴OA=2，
∴圆心是：OA的中点，这个圆的半径为：1．

点评 此题考查了圆周角定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线，确定点D在以OA为直径的圆上是解此题的关键．