Question

9．已知：正方形ABCD中，点E是BC上一动点（与点B、C不重合），连接AE延长CD到F，使得DF=BE，连接AF，EF，过点A作AP⊥EF，连接PD．

（1）如图1，若点E运动到边BC的延长线上时，判断△AEF的形状，并说明理由；
（2）如图1，若点E运动到边BC的延长线上，求证：∠PDF=45°；
（3）如图2，若点E运动到边BC之间使得∠AEB=60°，求∠APD的度数．

Answer 1

分析 （1）结论：△AEF是等腰直角三角形．只要证明△ABE≌△ADF，推出∠BAE=∠DAF，AE=AF，推出∠EAF=∠BAD=90°，即可证明．
（2）只要证明△AOD∽△FOP，得$\frac{OA}{OF}$=$\frac{OD}{OP}$，即$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OF}{OP}$由∠AOF=∠POD，推出△AOF∽△DOP，推出∠PDO=∠FAO=45°，即可解决问题．
（3）首先证明△ABE≌△ADF，推出∠DAF=∠BAE=30°，由△AOF∽△POD，推出∠DPO=∠FAO=30°，即可解决问题．

解答 解：（1）结论：△AEF是等腰直角三角形．
理由：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ABE=∠BAD=∠ADF=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

（2）如图1中，
∵△AEF是等腰三角形，AP⊥EF，
∴PF=PE，
∴PF=PE=AP，
∴∠FAO=45°，
∵∠ADO=∠OPF，∠AOD=∠FOP，
∴△AOD∽△FOP，
∴$\frac{OA}{OF}$=$\frac{OD}{OP}$，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OF}{OP}$，∵∠AOF=∠POD，
∴△AOF∽△DOP，
∴∠PDO=∠FAO=45°，
∴∠PDF=45°

（3）如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠ABE=∠BAD=∠ADF=90°，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，
∴∠EAF=∠BAD=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵∠AEB=60°∴∠BAE=∠DAF=30°，
∵AP⊥EF，
∠APO=∠ODF=90°，∠AOP=∠FOD，
∴△AOD∽△FOP，
∴$\frac{OA}{OF}$=$\frac{OP}{OD}$，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OF}{OD}$，∵∠AOF=∠POD，
∴△AOF∽△POD，
∴∠DPO=∠FAO=30°，
∴∠APD=∠APF+∠FPD=90°+30°=120°

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用相似三角形证明角相等，属于中考压轴题．