Question

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC中∠B和∠C的外角平分线的交点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与△ABC的三边所在的直线交于D、E、F、G．
（1）证明：BE=BG=DF；
（2）若AE=16，CG=2，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：垂径定理,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）作OM⊥DF，ON⊥BG，OK⊥BE，根据角平分线的性质判断出OM=ON=OK，从而得到BE=BG=DF．
（2）连接OC，OA．易得，△OMC≌△ONC，△OMA≌△OKA，可知，CD=CG=2，AM=AK，得到AB=AD，
根据勾股定理求出AB的长即可解答．

解答：解：（1）作OM⊥DF，ON⊥BG，OK⊥BE，
∵O为△ABC中∠B的外角平分线的交点，
∴OK=ON，
O为△ABC中∠C的外角平分线的交点，
∴OK=ON，
∴（2）连接OC，OA．
易得，△OMC≌△ONC，△OMA≌△OKA，
可知，CD=CG=2，AM=AK，
∵DM=BK，
∴AB=AD，
设AB=x，则CB=16-2-x=14-x，AC=2+x，
在Rt△ABG中，（x+2）²=x²+（14-x）²，
解得x₁=24（舍去），x₂=8．
可得△ABC的周长为16+8=24．

点评：本题考查了垂径定理、弦与弦心距的关系、勾股定理、角平分线的性质等，要综合运用，且要注意整体思想的运用．