Question

【题目】阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.

如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，

∴△MDI∽△ANI，

∴，

∴①，

如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA，

∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，

∴△AIF∽△EDB，

∴，∴②，

任务：(1)观察发现：， (用含R，d的代数式表示)；

(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.

Answer 1

【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由见解析；(3)见解析；(4).

【解析】

(1)直接观察可得；

(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得BD=ID；

(3)应用(1)(2)结论即可；

(4)直接代入结论进行计算即可．

(1)∵O、I、N三点共线，

∴OI+IN＝ON，

∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，

故答案为：R﹣d；

(2)BD=ID，理由如下：

∵点I是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，

∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，

∴∠BID=∠DBI，

∴BD=ID；

(3)由(2)知：BD=ID，

又，，

∴DE·IF=IM·IN，

∴，

∴

∴；

(4)由(3)知：，

把R=5，r=2代入得：，

∵d>0，

∴，

故答案为：.