题目内容

【题目】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是,类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为(  )

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

由图1可得1个竖直的算筹数算1,一个横的算筹数算10,每一横行是一个方程,第一个数是x的系数,第二个数是y的系数,第三个数是相加的结果:前面的表示十位,后面的表示个位,由此可得图2的表达式.

解:第一个方程x的系数为2,y的系数为1,相加的结果为11;第二个方程x的系数为4,y的系数为3,相加的结果为27,所以可列方程为.

故选:A.

练习册系列答案
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【题目】阅读以下材料,并按要求完成相应地任务:

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则.

如图1,⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,⊙I与AB相切分于点F,设⊙O的半径为R,⊙I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2﹣2Rr.

下面是该定理的证明过程(部分):

延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN.

∵∠D=∠N,∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等),

∴△MDI∽△ANI,

∴,

∴①,

如图2,在图1(隐去MD,AN)的基础上作⊙O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF,

∵DE是⊙O的直径,∴∠DBE=90°,

∵⊙I与AB相切于点F,∴∠AFI=90°,

∴∠DBE=∠IFA,

∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等),

∴△AIF∽△EDB,

∴,∴②,

任务:(1)观察发现:, (用含R,d的代数式表示);

(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;

(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;

(4)应用:若△ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为 cm.

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