Question

10．如图，已知四边形ABCD中，两组对边延长后分别交于，Q两点，∠P，∠Q的平分线交于M．
（1）已知∠A=60°，∠QCP=150°，求∠QMP．
（2）若∠A+∠QCP=180°，求证：PM⊥QM．

Answer 1

分析 （1）连接PQ，由三角形的内角和得到∠QCP=180°-∠1-∠2，由角平分线的定义得到∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）由（1）知，∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）
根据已知条件即可得到结论．

解答 解：（1）连接PQ，
∵∠QCP=180°-∠1-∠2，
∠A=180°-∠AQP-∠APQ=180°-∠1-∠2-∠AQB-∠APD
又∵∠P，∠Q的平分线交于M，
∴∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，
∴∠QCP+∠A=（180°-∠1-∠2）+（180°-∠1-∠2-2∠3-2∠4）
=360°-2∠1-2∠2-2∠3-2∠4，
∴$\frac{1}{2}$（∠QCP+∠A）=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，
又∵∠BCD=∠QCP，
∴$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，
又∵∠QMP=180°-∠MQP-∠MPQ=180°-∠1-∠3-∠2-∠4，
∴∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）=$\frac{1}{2}$×（150°+60°）=105°；

（2）由（1）知，∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）
∵∠A+∠QCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠QMP=90°，
∴PM⊥QM．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．