Question

已知a、b、c都是正整数，且二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点A、B．  
（1）若A、B分别在点（-1，0）的两侧，试比较b与a+c的大小；
（2）若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据抛物线的开口方向向上，抛物线与x轴有2个交点A、B，且A、B分别在点（-1，0）的两侧，知，当x=-1时，y＜0，把x=-1代入函数解析式后，来比较b与a+c的大小；
（2）设A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）．利用根与系数的关系、根的判别式得到

c

a

=x₁x₂＜1且b²-4ac＞0①，则a-b+c≥1②，且a＞c．可得 （

a

-

c

）²＞1③，由③得

a

＞

c

+1，故a＞4，又因为b＞2

ac

≥2

5×1

＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．

解答：解：（1）∵a是正整数，
∴二次函数y=ax²+bx+c的图象开口方向向上，
又∵二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点A、B，A、B分别在点（-1，0）的两侧，
∴当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
整理 得b＞a+c；

（2）设A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）．
据题意得，方程ax²+bx+c=0有两个相异根，都在（-1，0）中，
故当x=-1时，y＞0，则a-b+c＞0，一元二次方程ax²+bx+c=0的两根

c

a

=x₁x₂＜1且b²-4ac＞0①，
可见a-b+c≥1②，且a＞c．
所以a+c≥b+1＞2

ac

+1，可得 （

a

-

c

）²＞1，③
由③得

a

＞

c

+1，故a＞4，
又因为b＞2

ac

≥2

5×1

＞4，分别取a、b、c的最小整数5、5、1．
经检验，符合题意，
所以a+b+c=11最小．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．掌握抛物线的性质是解题的关键．