Question

13．抛物线y=$\frac{1}{2}$（x+1）²-2．
 （1）设此抛物线与x轴交点为A，B（A在B的左边），求出A、B两点的坐标；
（2）P是抛物线上的一个动点，问是否存在一点P，使S_△ABP=2？若存在，则有几个这样的点P？并写出它们的坐标．

Answer 1

分析 （1）在抛物线的解析式中令y=0，即可求得抛物线与x轴的交点的横坐标；
（2）首先根据（1）求得AB的长，然后根据S_△ABP=2，求得P的纵坐标，代入函数解析式即可求得P的坐标．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{1}{2}$（x+1）²-2=0，解得：x₁=1，x₂=-3，
则A的坐标是（-3，0），B的坐标是（1，0）；
（2）AB=1-（-3）=4，
设P的纵坐标是m，则$\frac{1}{2}$×4|m|=2，
解得：|m|=1，
则m=1或-1．
当m=1时，$\frac{1}{2}$（x+1）²-2=1，解得：x=-1±$\sqrt{6}$，即P的坐标是（-1+$\sqrt{6}$，1）或（-1-$\sqrt{6}$，1）；
当m=-1时，$\frac{1}{2}$（x+1）²-2=-1，解得：m=-1±$\sqrt{2}$，则P的坐标是（-1+$\sqrt{2}$，-1）或（-1-$\sqrt{2}$，-1）．
总之，满足条件的P有4个，分别是：（-1+$\sqrt{6}$，1）和（-1-$\sqrt{6}$，1）和（-1+$\sqrt{2}$，-1）和（-1-$\sqrt{2}$，-1）．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点坐标以及三角形的面积，注意到P的纵坐标有两种情况是关键．