Question

如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，延长BC至点E，以D为圆心，DE为半径作圆弧EF，使点A在DF上，连接AE、BF．

（1）试猜想线段AE和BF的数量关系，并写出你的结论；
（2）将扇形DEF绕点D按逆时针方向旋转一定角度后（旋转角大于0°且小于180°），DF、DE分别交AB、AC于点P、Q．如图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，请连接EF、PQ，求证：EF∥PQ且AE⊥BF．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形斜边上的高就是中线，得出AD=BD=DC，因为DF和DE是圆的半径所以相等，根据SAS即可求得；
（2）根据旋转的性质得出∠BDF=∠ADE，然后根据SAS即可求得；
（3）根据三角形求得得出∠BFD=∠AED，根据对顶角相等得出∠FHG=∠EHD，根据等量加等量还是等量得出∠FGE=90°，再求出A、P、D、Q四点共圆，然后根据圆周角的性质得出∠DPQ=∠DAQ=45°，因为∠EFD=45°，根据同位角相等两直线平行即可证得；

解答：
（1）AE=BF，
证明：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，
∴AD=BD=DC，
在△BDF与△ADE中

BD=AD ∠BDF=∠ADE=90° DF=DE

∴△BDF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF；

（2）成立；
证明：如图2，∵∠ADF=∠CDE，AD⊥BC，
∠BDF=∠ADE，
由（1）可知AD=BD，
在△BDF与△ADE中

BD=AD ∠BDF=∠ADE DF=DE

∴△BDF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF；

（3）如图2，连接PQ，、EF，延长EA交BF于G，交DF于H，由（2）可知△BDF≌△ADE，
∴∠BFD=∠AED，
∵∠FHG=∠EHD，
∴∠BFD+∠FHG=∠AED+∠EHD，
∵∠AED+∠EHD=90°，
∴∠BFD+∠FHG=90°，
∴∠FGE=90°，
即AE⊥BF．
∵∠BAC=∠EDF=90°，
∴A、P、D、Q四点共圆，
∴∠DPQ=∠DAQ=45°，
∵DF=DE，∠EDF=90°，
∴∠EFD=45°，
∴∠EFD=∠QPD=45°，
∴EF∥PQ．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，圆的性质，旋转的性质以及三角形求得的判定和性质；四点共圆是本题的难点．