Question

在△ABC内侧作射线，自B，C分别向射线AP引垂线，垂足分别为D，E,M为BC边中点，连接MD，ME.

（1）依题意补全图1；

（2）求证：MD=ME；

（3）如图2，若射线AP平分∠BAC，且AC>AB，求证：MD=.

 

Answer 1

 解：（1）补全图形，如图1所示. ……… 1分

（2）延长DM交CE于点F.

∵BD、CE分别垂直AP于点D、E.

∴BD∥CE.，∴∠1= ∠2.

∵M为BC边中点，

∴BM=CM, 又∵∠DMB= ∠FMC,

∴△DMB≌△FMC (ASA)，

∴DM=FM.

∵∠DEF=90°.

∴EM=DF,

∴MD=ME.

 

（3）延长BD交AC于点G.

∵BD⊥AP于点D，射线AP平分∠BAC,

∴△ADB≌△ADG (ASA)，

∴BD=DG,AB=AG.

又∵△DMB≌△FMC,

∴BD=CF，DM=MF,

∴CF=DG,

又∵BG∥CF,

∴四边形DFCG为平行四边形.

∴DF=CG,

∴2MD=CG,

∴2MD=AC-AB,

∴MD=(AC-AB).