Question

如图，P为等腰△ABC的顶角A的外角平分线上任一点，连接PB,PC.

(1)求证:PB+PC＞2AB.

(2)当PC=2，PB=，∠ACP=45°时，求AB的长.

Answer 1

解：(1)如图，在射线BA上取点B'使AB’=AB,连接PB’,

∵P为等腰△ABC的外角平分线上任一点，∴∠B’AP=∠CAP,AB=AC,AB’=AC，

∵PA=PA,∴△B’AP≌△CAP,∴PB’=PC.

在△B’BP中，∵PB+PB’＞BB’

∴PB+PC＞2AB.   ………………………………3分

(2)在△B’BP中，作PH⊥BB’于点H，

∵△B’AP≌△CAP,∴∠PB’A=∠PCA=45°,

∵PC=2，∴PB’=2.∴B’H=PH=.

在Rt△PHB中，∵PB=，

利用勾股定理解得BH=,

∴BB’=，

∴AB的长为 ………………………………5分