Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，若AC＝m，BC＝n，则CD的长为_____（用含m、n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，作DE⊥CA于E，DF⊥BC交CB延长线于F，可得DE＝DF，四边形DECF是正方形，利用HL可证Rt△ADE≌Rt△BDF，则AE＝BF，进一步即得CE+CF＝AC+BC，进而可得CE的长，然后利用等腰直角三角形的性质即可求出CD的长.

解：如图，作DE⊥CA于E，DF⊥BC交CB延长线于F，则∠CED＝∠CFD＝90°，

∵AB是直径，

∴∠ECF＝90°，

∴四边形DECF是矩形，

∵DC平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB，

∴DE＝DF，

∴四边形DECF是正方形，

∵∠DCA＝∠DCB，

∴，

∴AD＝BD，

∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），

∴AE＝BF，

∴CE+CF＝AC﹣AE+CB+BF＝AC+BC＝m+n，

∴CE＝CF＝DE＝DF＝（m+n），

∴CD＝（m+n），

故答案为：（m+n）．