Question

如图，四边形ABCD的四个顶点都在半径为5的⊙O上，对角线AD为⊙O的直径．BC平分∠ABD交⊙O于点C．若AB=6，则四边形ABDC的面积为

49

．

Answer 1

分析：由于AD是直径，那么∠ABD=∠ACD=90°，利用勾股定理以求BD=8，再根据圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=45°，易求∠CAD=45°，进而可得AC=CD，再利用勾股定理可求AC、CD，然后利用S_四边形=S_△ABD+S_△ACD可求面积．

解答：解：如右图所示，
∵AD是直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
又∵AB=6，AD=2×5=10，
∴BD=

102-62

=8，
又∵∠ADC=∠ABC=45°，
∴∠CAD=45°，
∴AC=CD，
于是2AC²=AD²=100，
解得AC=CD=5

2

，
∴S_四边形=S_△ABD+S_△ACD=

1

2

×6×8+

1

2

×5

2

×5

2

=49，
故答案是49．

点评：本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是90°，解题的关键是求出BD，并求出∠ADC．