Question

已知y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接AC，BC．说明在y轴上是否存在点Q，当Q在y轴上运动时使∠AQB最大？若存在，求出点Q的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设Q点的坐标为（0，y），在Rt△OAQ可得tan∠OQA=

1

y

，在Rt△OQB中可得tan∠OQB=

4

y

，从而可表示出∠AQB的正切值，再利用正切值的增减性来判断．

解答：解：
设Q点的坐标为（0，y），
∵点A为（1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
在Rt△OAQ可得tan∠OQA=

1

y

，在Rt△OQB中可得tan∠OQB=

4

y

，
∴tan∠AQB=tan（∠OQB-OQA）=

tan∠OQB-tan∠OQA

1+tan∠OQBtan∠OQA

=

3 y

1+ 4 y2

=

3

y+ 4 y

当y＞0时，y+

4

y

≥2

4

=4，当y=

4

y

即y=2时，y+

4

y

有最小值4，则

3

y+ 4 y

≤

3

4

，
即当y=2时，tan∠AQB有最大值，即∠AQB最大，此时Q点坐标为（0，2），
同理当y＜0时，可求得y=-2，此时点Q坐标为（0，-2），
综上可知存在使∠AQB最大的点Q，坐标为（0，2）或（0，-2）．

点评：本题主要考查抛物线的交点问题，由条件求得∠AQB的三角函数的范围是解题的关键．