Question

已知x²-3x+1=0，求：
（1）x2+

1

x2

      
（2）

x4

x8+1

．

Answer 1

分析：（1）把方程两边同时除以x，再将方程变形得到关于x+

1

x

的方程，可得问题答案；
（2）由（1）的结论可求出答案．

解答：解：（1）由x²-3x+1=0，可知：x≠0，
∴x²+1=3x，两边同时除以x得x+

1

x

=3，
∴（x+

1

x

）²=3²，即x²+

1

x 2

+2=9，
∴x²+

1

x 2

=7；

（2）∵x²+

1

x 2

=7，
∴（x²+

1

x 2

）²=72，
∴x⁴+

1

x 4

+2=49，
∴x⁴+

1

x 4

=47，
∴

x4

x8+1

=

1

x 4+ 1 x 4

=

1

47

．

点评：本题考查了配方法的应用，配方法的理论依据是公式a²±2ab+b²=（a±b）²
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．