Question

4．已知如图1菱形ABCD，∠ABC=60°，边长为 3，在菱形内作等边三角形△AEF，边长为2$\sqrt{2}$，点E，点F，分别在AB，AC上，以A为旋转中心将△AEF顺时针转动，旋转角为α，如图2

（1）在图2中证明BE=CF；
（2）若∠BAE=45°，求CF的长度；
（3）当CF=$\sqrt{17}$时，直接写出旋转角α的度数．

Answer 1

分析 （1）连接AC，证明△AEB≌△AFC，即可得出结论；
（2）过E点作EM⊥AB于M，则△AEM是等腰直角三角形，得出EM=AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=2，求出BM=AB-AM=1，在Rt△BME中，由勾股定理求出BE，即可得出CF的长；
（3）过E点作EM⊥AB于M，则∠EMB=∠EMA=90°，由（1）得：BE=CF=$\sqrt{17}$，设AM=x，则BM=3-x，由勾股定理得出方程，积解方程求出x=0，得出点M与
A重合，求出∠BAE=90°，即α=90°；同理可得：当CF=$\sqrt{17}$时，α还等于270°即可．

解答 （1）证明：连接AC，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=3，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，
∴∠BAE=∠CAF，
在△AEB和△AFC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}&{\;}\\{∠BAE=∠CAF}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴BE=CF；
（2）解：过E点作EM⊥AB于M，如图3所示：
∵∠BAE=45°，则△AEM是等腰直角三角形，
∴EM=AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2}$=2，
∴BM=AB-AM=3-2=1，
在Rt△BME中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{E{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由（1）得：CF=BE=$\sqrt{5}$；
（3）解：过E点作EM⊥AB于M，如图4所示，
则∠EMB=∠EMA=90°，
由（1）得：BE=CF=$\sqrt{17}$，
设AM=x，则BM=3-x，
由勾股定理得：BM²=BE²-BM²，BM²=AE²-AM²，
∴BE²-BM²=AE²-AM²，即（$\sqrt{17}$）²-（3-x）²=（2$\sqrt{2}$）²-x²，
解得：x=0，即点M与A重合，
∴∠BAE=90°，即α=90°；
同理可得：当CF=$\sqrt{17}$时，α还等于270°；
综上所述：当CF=$\sqrt{17}$时，旋转角α的度数为90°或270°．

点评 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．