题目内容
2．在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为射线CA上一点，ME⊥BC于点E，∠AME的平分线MF交AB于点F（1）如图1，若∠ABC=40°，M为边CA上一点，试探究BD与FM的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠ABC=α，M为边CA延长线上一点，
①图2中∠ABC的平分线BD未画，请补画出来（“尺规作图”，不写作法，但要保留作图痕迹）．
②试探究BD与FM的位置关系，并说明理由．
分析 （1）根据角平分线的定义与四边形的内角和定理求出∠ABD+∠AMF=90°，又∠AFM+∠AMF=90°，然后证明得到∠ABD=∠AFM，然后根据同位角相等，两直线平行可得BD∥MF；
（2）①根据尺规作图，画出即可；②先证明∠ABC=∠AME，再根据角平分线的定义可得∠ABD=∠AMF，然后根据∠ABD+∠ADB=90°得到∠AMF+∠ADB=90°，从而得到BD⊥MF；
解答 
解：（1）BD∥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠AME=360°-90°×2=180°，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠AMF=$\frac{1}{2}$∠AME，
∴∠ABD+∠AMF=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠AME）=90°，
又∵∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠ABD=∠AFM，
∴BD∥MF；
（2）①如图2所示：
②BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠AMF+∠ADB=90°，
∴BD⊥MF；
点评 本题考查了直角三角形的性质，垂线的定义，平行线的判定，三角形的内角和定理，本题规律性较强，准确识图，准确找出角度之间的关系是解题的关键．
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