Question

7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=9，BD=3，EA=EC，∠ECD=45°，则BE的长为$\frac{3\sqrt{26}}{2}$．

Answer 1

分析 延长CE交AB于M，作MN⊥AC于N，EK⊥AC于K，EF⊥BC于F，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接DH，欲求BE只要求出EF、BF即可，首先证明DM²=AM²=DB²，利用这个关系可以求出AM，再根据勾股定理、平行线分线段成比例定理即可解决问题．

解答 解：延长CE交AB于M，作MN⊥AC于N，EK⊥AC于K，EF⊥BC于F，将△ACM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接DH．
∵∠ACM=∠BCE，∠MCD=45°，
∴∠ACM+∠BCD=45°，
∴∠BCD+∠BCH=45°，
∴∠DCM=∠DCH，
在△CDM和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{∠DCM=∠DCH}\\{CM=CH}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△CDH，
∴MD=DH，
∵∠A=∠CBH=45°，∠ABC=45°，AM=BH，
∴∠DBH=90°，DH²=BH²+DB²，
∴DM²=AM²+BD²，设AM=x，则DM=9-x，（9-x）²=3²+x²，解得x=4，
∴AM=4，DM=5，
∵△ABC，△AMN都是等腰直角三角形，
∴AC=BC=6$\sqrt{2}$，AN=MN=2$\sqrt{2}$，
∵EK⊥AC，EA=EC，
∴AK=KC=3$\sqrt{2}$，NK=AK-AN=$\sqrt{2}$，
∵EK∥MN，
∴$\frac{CK}{CN}=\frac{EK}{MN}$，
∴EK=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵∠EKC=∠EFC=∠KCF=90°，
∴四边形KEFC是矩形，
∴KC=EF=3$\sqrt{2}$，KE=CF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴BF=BC-CF=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∴BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{26}}{2}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{26}}{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转构造全等三角形，学会利用勾股定理解决线段问题，题目有点难度．