Question

2．已知：a、b、c为正实数，且a+b+c=1．
（1）比较大小：a²＜a；
（2）试判断$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$与4的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据a、b、c为正实数，且a+b+c=1，可以得到a、b、c的取值范围，因为正的真分数的平方小于它本身，本题得以解决；
（2）首先判断$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$与4的大小关系，然后对所求的式子进行变形，即可证得结论成立．

解答 解：（1）∵a、b、c为正实数，且a+b+c=1，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，
∴a²＜a，
故答案为：＜；
（2）$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$＞4，
理由：方法一：∵$（\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}）^{2}$
=3a+1+3b+1+2$\sqrt{（3a+1）（3b+1）}$
=3（a+b）+2$\sqrt{9ab+3（a+b）+1}$+2
＞[3（a+b）+1]+2$\sqrt{3（a+b）+1}+1$
=$（\sqrt{3（a+b）+1}+1）^{2}$
∴$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}＞\sqrt{3（a+b）+1}+1$，
同理可证，$\sqrt{3（a+b）+1}+\sqrt{3c+1}$＞$\sqrt{3（a+b+c）+1}+1$，
∴$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$＞$\sqrt{3（a+b）+1}+1+\sqrt{3c+1}$＞$\sqrt{3（a+b+c）+1}+1+1$，
∵a+b+c=1，
∴$\sqrt{3（a+b+c）+1}+1+1$=$\sqrt{3+1}+1+1=\sqrt{4}+1+1=2+1+1=4$，
即$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$＞4．
方法二：由（1）知a²＜a，则b²＜b，c²＜c，
∴$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$=$\sqrt{a+2a+1}+\sqrt{b+2b+1}+\sqrt{c+2c+1}$＞$\sqrt{{a}^{2}+2a+1}+\sqrt{{b}^{2}+2b+1}+\sqrt{{c}^{2}+2c+1}$=a+1+b+1+c+1=a+b+c+3，
∵a+b+c=1，
∴a+b+c+3=4，
即$\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}$＞4．

点评 本题考查二次根式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，需要注意的是其中不等号的应用．