Question

设p是给定的奇质数，正整数k使得

k2-pk

也是一个正整数，则k=

 

．（结果用含p的代数式表示）

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：

分析：由条件可以知道k²-pk是完全平方数，设

k2-pk

=n，k²-pk-n²=0，k=

p± p2+4n2

2

，从而p²+4n²是平方数，设为m²，则（m-2n）（m+2n）=p²，p是奇质数，p≥3，则

m-2n=1 m+2n=p2

，可以得到

m= p2+1 2 n= p2-1 4

代入就可以求出k值．

解答：解：设

k2-pk

=n，k²-pk-n²=0，k=

p± p2+4n2

2

，
从而p²+4n²是平方数，设为m²，p²+4n²=m²，则（m-2n）（m+2n）=p²
∵p是质数，p≥3，
∴

m-2n=1 m+2n=p2

，解得：

m= p2+1 2 n= p2-1 4

∴k=

p±m

2

=

2p±(p2+1)

4

，
∴k₁=

(p+1)2

4

，k₂=

-(p-1)2

4

（负值舍去）
故答案为：

(p+1)2

4

点评：本题考查了有理数和无理数的意义的运用，质数的性质，正整数的意义及对相关概念的理解．