Question

20．已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），其顶点为P，直线y=kx+b过抛物线与x轴的一个交点A，且与抛物线相交的另外一个交点为C，若S_△ABC=10，请你回答下列问题：
（1）求直线的解析式；
（2）求四边形APBC的面积．

Answer 1

分析 （1）令y=0，则x²-2x-3=0，得到A（-1，0），B（3，0），设C（m，m²-2m-3），根据三角形的面积得到C（4，5）或（-2，5），解方程组即可得到结论；
（2）根据抛物线的解析式得到P（1，-4），根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）令y=0，则x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
设C（m，m²-2m-3），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×|m²-2m-3|=10，
∴m=4或m=-2，
∴C（4，5）或（-2，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{5=4k+b}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{5=-2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为：y=x+1或y=-5x-5；
（2）如图，∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴P（1，-4），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴四边形APBC的面积=S_△ABC+S_△ABP=$\frac{1}{2}$×4×5+$\frac{1}{2}$×4×4=18．

点评 本题考查了二次函数的图象的性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，抛物线与x轴的交点坐标的运用，解答时求出点C的坐标是关键．