在平面直角坐标系中.函数$y=-\frac{4}{3}x+b$的图象分别交x轴.y轴正半轴于点A.C.在第一象限内点M的坐标为.CM=$\frac{5}{3}$.过点C作射线CR∥x轴．(1)求直线AC的解析式,(2)点P自点C沿射线CR以每秒1个单位长度运动.同时点Q自点A沿线段AC以每秒1个单位的速度向点C运动.其中一个点停止运动时.另一个点也停止运动.点B.过点P作PF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

在平面直角坐标系中，函数$y=-\frac{4}{3}x+b$的图象分别交x轴、y轴正半轴于点A、C，在第一象限内点M的坐标为（1，$\frac{16}{3}$），CM=$\frac{5}{3}$，过点C作射线CR∥x轴．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P自点C沿射线CR以每秒1个单位长度运动，同时点Q自点A沿线段AC以每秒1个单位的速度向点C运动，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，点B（-1，0），过点P作PF∥CB，分别交线段AC、x轴于点E、F，设线段EQ的长为S （s＞0）个单位长度，点Q 的运动时间为t（秒），求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在P、Q运动的过程中，是否存在t值，使得∠PFQ=45°？若存在，求t值；若不存在，请说明理由．

分析（1）由CM的长度，及直线AC解析式可以得出b值，进而求出直线AC的解析式；
（2）先求出AC长度，再分别表示出CE、AQ的长度，则EQ的长度自然可以表示出来；
（3）通过辅助线构造等腰直角三角形，利用相似三角形解决问题．

解答解：（1）∵点C在y轴上，设点C（0，b），
∵CM=$\frac{5}{3}$，M（1，$\frac{16}{3}$），
∴$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{16}{3}-b）^{2}}$=$\frac{5}{3}$
解得：b=4，或b=$\frac{20}{3}$，
∵点C在点M下方，
∴直线AC解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+4．
（2）在RT△AOC中，∵AO=3，CO=5，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∵EF∥AB，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{BA}$，
∴$\frac{AE}{5}=\frac{3-（t-1）}{4}$，
∴AE=5-$\frac{5}{4}$t，CE=$\frac{5}{4}$t，
当CE+AQ=5时，$\frac{5}{4}$t+t=5，
∴t=$\frac{20}{9}$
①0＜t≤$\frac{20}{9}$时，EQ=AC-CE-AQ=5-$\frac{5}{4}$t-t=5-$\frac{9}{4}$t，
②$\frac{20}{9}$＜t≤3时，EQ=EC+AQ-AC=$\frac{9}{4}$t-5，
③3＜t≤5时，由$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}$得$\frac{AE}{5}=\frac{t-4}{4}$
∴AE=$\frac{5}{4}$t-5，
∴EQ=AE+AQ=t+$\frac{5}{4}$t-5=$\frac{9}{4}$t-5，
（3）存在；
情形①如图，取点M（4，3），连接CM，BM，作MG⊥CR垂足为G交OA于K，作QH⊥OA垂足为H，
∵CG=CO=4，∠CGM=∠COB=90°，MG=BO=1
∴△CGM≌△COB，
∴∠GCM=∠OCB，CB=CM，
∴∠BCM=∠OCG=90°，
∴△BCM的等腰直角三角形，
∴∠1=∠3=45°，
∵PF∥BC，
∴∠2=∠1=45°，∵∠4=45°，
∴∠2=∠4，
∴FQ∥BN，
∴∠QFH=∠MBK，∵∠QHF=∠MKB=90°，
∴△QHF∽△MKB，
∴$\frac{QH}{MK}=\frac{FH}{BK}$，∴$\frac{\frac{4}{5}t}{3}=\frac{3-（t-1）-\frac{3}{5}t}{5}$，
∴t=$\frac{15}{11}$．
情形②如图，由∠2=∠4=45°，可知∠MNF=90°，
由△QHF∽BKM得到$\frac{QH}{BK}=\frac{HF}{MK}$，
∴$\frac{\frac{4}{5}t}{5}=\frac{\frac{3}{5}t-（4-t）}{3}$，
∴t=$\frac{25}{7}$，
综上所述t=$\frac{15}{11}$或$\frac{25}{7}$．