Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．

（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的基础上，过点P画PE∥AC交BC边于E，联结EQ，则四边形APEQ是什么特殊四边形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形APEQ是菱形．理由见解析.

【解析】

（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线即可．

（2）利用全等三角形的性质证明PA=PE，再证明AP=AQ，即可解决问题．

解：（1）如图，射线BQ即为所求．

（2）结论：四边形APEQ是菱形．

理由：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠C=90°，

∴∠BAD=∠C，

∵PE∥AC，

∴∠PEB=∠C，

∠BAP=∠BEP，

∵BP=BP，∠ABP=∠EBP，

∴△ABP≌△EBP（AAS），

∴PA=PE，

∵∠AQP=∠QBC+∠C，∠APQ=∠ABP+∠BAP，

∴∠APQ=∠AQP，

∴AP=AQ，

∴PE=AQ，

∵PE∥AQ，

∴四边形APEQ是平行四边形，

∵AP=AQ，

∴四边形APEQ是菱形．