Question

设n个正整数a₁，a₂，…，a_n，（其中n＞1），如果满足：

a1+a2+…+an=k 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an =1

，则称k是一个“好数”．
如：

2+2=4 1 2 + 1 2 =1

，

2+3+6=11 1 2 + 1 3 + 1 6 =1

，

2+4+6+12=24 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 12 =1

，因此4、11、24这三个数都是一个好数．
（1）请你举一个“好数”的例子，并说明理由．
（2）如果k是“好数”，2k+2是“好数”吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）30为一个“好数”，理由为：2+3+10+15=30，且

1

2

+

1

3

+

1

10

+

1

15

=1，根据题中的新定义得到30为一个“好数”；
（2）根据“好数”的定义得到2a₁+2a₂+…+2a_n+2=2k+2，

1

2a1

+

1

2a2

+…+

1

2an

+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1，依此即可作出判断．

解答：解：（1）30为一个“好数”，理由为：

2+3+10+15=30 1 2 + 1 3 + 1 10 + 1 15 =1

，
因此30为一个“好数”；

（2）如果k是“好数”，则有：

a1+a2+…+an=k 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an =1

，
则2a₁+2a₂+…+2a_n+2=2k+2，
则

1

2a1

+

1

2a2

+…+

1

2an

+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1，
故2k+2也是“好数”．

点评：本题主要考查“好数”的定义，解答本题的关键是掌握“好数”的定义的知识，本题（2）中得到2a₁+2a₂+…+2a_n+2=2k+2是本题的难点，此题难度较大．