Question

15、设a₁，a₂，a₃…，a₄₁是任意给定的互不相等的41个正整数．问能否在这41个数中找到6个数，使它们的一个四则运算式的结果（每个数不重复使用）是2002的倍数？如果能，请给出证明；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：首先把2002分解成11×14×13的形式，然后把将a₁，a₂，a₃…a₄₁这41个数分为3组，根据抽屉原理，在第3组数中，必有两个数被11所除的余数相同，必有两个数被13所除的余数相同，必有两个数被14所除的余数相同，最后证明：（a_i-a_j）（a_m-a_n）（a_p-a_q）是2002的倍数．

解答：解：能找到6个数，使它们运算的结果是2002的倍数．
∵2002=2×7×11×13=11×14×13，
将a₁，a₂，a₃…a₄₁这41个数按如下方法分为3组：
第一组12个数：a₁，a₂，a₃…，a₁₂①
第二组14个数：a₁₃，a₁₄，a₁₅…a₂₆②
第三组15个数：a₂₇，a₂₈，a₂₉…a₄₁③
由抽屉原理，在第①组数中，必有两个数被11所除的余数相同，
不妨设为：a_i，a_j
那么（a_i-a_j）能被11整除，即（a_i-a_j）=11×k_i（k_i为正整数），
同理，在第②组数中，必有两个数被13所除的余数相同，
不妨设为：a_m，a_n，
那么（a_m-a_n）能被13整除，即（a_m-a_n）=13×k₂（k₂为正整数），
同理，在第③组数中，必有两个数被14所除的余数相同，
不妨设为：a_p，a_q，
那么（a_p-a_q）能被14整除，即（a_p-a_q）=14×k₃（k₃为正整数），
这样，由a_i，a_j，a_m，a_n，a_p，a_q组成的一个算式：（a_i-a_j）（a_m-a_n）（a_p-a_q）
=11×k_i×13×k₂×14×k₃
=2002×k_i×k₂×k₃
∵k₁×k₂×k₃是正整数，故
故（a_i-a_j）（a_m-a_n）（a_p-a_q）是2002的整倍数．

点评：本题主要考查抽屉原理和数的整除性的知识点，解答本题的关键是能找到6个数，使它们运算的结果是2002的倍数，把2002进行拆分很必要，本题难度较大．