Question

14．正方形ABCD中，直线l经过点A，过点B、D分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F，若BE=7，DF=4，则DE的长度为$\sqrt{137}$或5．

Answer 1

分析 分l经过正方形外部和内部两种情况，可证得△ABE≌△DAF，则可求得AE和AF的长，则可求得EF的长，连接DE，在Rt△DEF中，利用勾股定理可求得答案．

解答 解：
当直线l在正方形外部时，如图1，连接DE，

∵BE⊥EF，DF⊥EF，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠DAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠AFD}\\{∠ABE=∠DAF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AE=DF=4，AF=BE=7，
∴EF=AE+AF=11，
在Rt△DEF中，由勾股定理可得DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+1{1}^{2}}$=$\sqrt{137}$，
当直线l经过正方形内部时，如图2，连接DE，

同理可证得△ABE≌△DAF，
∴AE=4，AF=7，
∴EF=AF-AE=3，
在Rt△DEF中，由勾股定理可得DE=5，
故答案为：$\sqrt{137}$或5．

点评 本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，利用条件证得全等三角形，求得AE和AF的长是解题的关键，注意分情况讨论．