题目内容
6．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE（1）当AE∥BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；
（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．
分析 （1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），易证△AEF≌△BDF及四边形AEDC是平行四边形，从而可得BD=DC=5，根据垂径定理可得BG=DG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理即可求出⊙O的半径长；
（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），运用三角函数、勾股定理及面积法可求出AC、AB、AH、BH、CH，根据垂径定理可得DF=EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AD．然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理可求出BG（用x的代数式表示），进而可用x的代数式依次表示出BD、DH，AD、AE，问题得以解决；
（3）①若点D在H的左边，如图（2），根据等腰三角形的性质可得DH=CH，从而依次求出BD、DF、DE的长；②若点D在H的右边，则点D与点C重合，从而可依次求出BD、DF、DE的长．
解答 解：（1）过点O作OG⊥BD于G，
设AB与DE的交点为F，如图（1），
∵OG⊥BD于G，
∴BG=DG．
∵DE⊥AB，
∴EF=DF，
∵AE∥BC，
∴∠AEF=∠BDF．
在△AEF和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠BDF}\\{EF=DF}\\{∠AFE=∠BFD}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BDF，
∴AE=BD．
∵∠BFD=∠BAC=90°，
∴DE∥AC．
∵AE∥BC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE=DC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴BG=DG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$．
在Rt△BGO中，
tan∠OBG=$\frac{OG}{BG}$=$\frac{3}{4}$，
∴OG=$\frac{3}{4}$BG=$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{8}$，
∴OB=$\sqrt{B{G}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{15}{8}）^{2}}$=$\frac{25}{8}$，
∴⊙O的半径长为$\frac{25}{8}$；
（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），
在Rt△BAC中，
tan∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
设AC=3k，则AB=4k，
∴BC=5k=10，
∴k=2，
∴AC=6，AB=8，
∴AH=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{8×6}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{（8+\frac{24}{5}）（8-\frac{24}{5}）}$=$\frac{32}{5}$，
∴HC=BC-BH=10-$\frac{32}{5}$=$\frac{18}{5}$．
∵AB⊥DE，
∴根据垂径定理可得DF=EF，
∴AB垂直平分DE，
∴AE=AD．
在Rt△BGO中，
tan∠OBG=$\frac{OG}{BG}$=$\frac{3}{4}$，
∴OG=$\frac{3}{4}$BG，
∴OB=$\sqrt{O{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{4}BG）^{2}+B{G}^{2}}$=$\frac{5}{4}$BG=x，
∴BG=$\frac{4}{5}$x，
∴BD=2BG=$\frac{8}{5}x$，
∴DH=BH-BD=$\frac{32}{5}$-$\frac{8}{5}$x，
∴y=AE=AD=$\sqrt{D{H}^{2}+A{H}^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{32}{5}-\frac{8}{5}x）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{64}{25}{x}^{2}-\frac{512}{25}x+64}$
=$\frac{8\sqrt{{x}^{2}-8x+5}}{5}$（0＜x≤$\frac{25}{4}$）；
（3）①若点D在H的左边，如图（2），
∵AD=AC，AH⊥DC，
∴DH=CH=$\frac{18}{5}$，
∴BD=BH-DH=$\frac{32}{5}$-$\frac{18}{5}$=$\frac{14}{5}$．
在Rt△BFD中，
tan∠FBD=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴BF=$\frac{4}{3}$DF，
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{4}{3}DF）^{2}+D{F}^{2}}$
=$\frac{5}{3}$DF=$\frac{14}{5}$，
∴DF=$\frac{42}{25}$，
∴DE=2DF=$\frac{84}{25}$；
②若点D在H的右边，
则点D与点C重合，
∴BD=BC=10，
∴$\frac{5}{3}$DF=10，
∴DF=6，
∴DE=2DF=12．
综上所述：当⊙A恰好也过点C时，DE的长为$\frac{84}{25}$或12．
点评 本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论、面积法等重要的数学思想方法，有一定的难度，把AE转化为AD是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．
活力课时同步练习册系列答案
如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE=CF
如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连结AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，交DE于点P．| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心M在y轴上，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作⊙M的切线AP交y轴于点P，若⊙M的半径为5，点A的坐标为（-4，0），