Question

如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。

（1）求A点坐标及线段AB的长；

（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。

①当PQ⊥AC时，求t的值；

②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。

Answer 1

考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）由抛物线知：当x=0时，y=﹣2，

∴A（0，﹣2）。

由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；

当时，，解得，

∴B（4，﹣2），

∴AB=4。

（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，

Q点移动路程为。

当Q点在OA上时，即，时，

如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。

∴，即，

∴。

∵，

∴此时t值不合题意。

当Q点在OC上时，即，时，

如图2，过Q点作QD⊥AB。

∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。

∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。

若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，

∴，即，

∴。

∵，

∴符合题意。

当Q点在BC上时，即，时，

如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，

则QG⊥PG，即∠GQP=90°。

∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，

此时PQ不与AC垂直。

综上所述，当时，有PQ⊥AC。

②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，

∴，

∴，

解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC。

此时AP=2，BQ=CQ=1，

∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。

抛物线对称轴的解析式为x=2，

当H₁为对称轴与OP的交点时，

有∠H₁OQ=∠POQ，

∴当y_H＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。

作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，

过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，

在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1。

∴OQ=，

∵S_△OPQ=S_{四边形ABCD}﹣S_△AOP﹣S_△COQ﹣S_△QBP=3=OQ×PM，

∴PM=，

∴PP′=2PM=，

∵NPP′=∠COQ。

∴Rt△COQ∽△Rt△NPP′

∴，

∴ ，，

∴P′（），

∴直线OP′的解析式为，

∴OP′与NP的交点H₂（2，）。

∴当时，∠HOP＞∠POQ。

综上所述，当或时，∠HOQ＞∠POQ。