Question

如图，矩形OABC的顶点0、B的坐标分别是O（0，0）、B（8，4），顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，把△OAB沿OB翻折，使点A落在点D的位置，BD与OA交于E．
①求证：OE=EB；
②求OE、DE的长度；
③求直线BD的解析．

Answer 1

分析：①根据矩形的性质和轴对称的性质，可得∠OBC=∠BOE=∠OBE，即可证得；
②可设OE=x，则AE=DE=8-x，则在直角△EAB中，根据勾股定理，可求出x，即可解答出；
③如图，作DF⊥OE，根据直角三角形的面积，可求出DF，再根据勾股定理，可求出OF，即可得出点D的坐标，用待定系数法，即可求得直线BD的解析式．

解答：①证明：在矩形OABC中，∠OBC=∠BOE，
∵△OCB≌△ODB，
∴∠CBO=∠DBO，
∴∠BOE=∠OBE，
∴OE=EB；

②解：由①可得，BD=BC=OA=8，
∴AE=DE，
设OE=BE=x，则AE=DE=8-x，
∴在直角△EAB中，（8-x）²+4²=x²，
解得，x=5，则8-x=8-5=3，
∴OE=5，DE=3；

③解：如图，作DF⊥OE，垂足为F
∴在直角△ODE中，OD=4，
∴DF=

3×4

5

=

12

5

，
∴OF=

OD2-DF2

=

42-( 12 5 )2

=

16

5

，
∴点D的坐标为（

16

5

，-

12

5

），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴

4=8k+b - 12 5 = 16 5 k+b

，
解得，

k= 4 3 b=- 20 3

，
∴直线BD的解析式为：y=

4

3

x-

20

3

．

点评：本题主要考查了矩形的性质、轴对称图形的性质、勾股定理和一次函数解析式的求法，本题涉及的知识点比较多，考查了学生对于知识的综合运用能力．