Question

如图，以△ABC的边AB上一点O为圆心的圆经过B、C两点，且与边AB相交于点E，D是弧BE的中点，CD交AB于F，AC=AF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若EF=5，DF=

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，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OD、OC，如图，根据垂径定理的推论，由D是弧BE的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠3=90°，而∠3=∠2，所以∠D+∠2=90°，再利用AF=AC，OD=OC，得到∠1=∠2，∠D=∠4，易得∠1+∠4=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OF=OE-EF=r-5，在Rt△ODF中，根据勾股定理得r²+（r-5）²=（

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）²，然后解方程即可得到圆的半径．

解答：（1）证明：连结OD、OC，如图，
∵D是弧BE的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D+∠3=90°，
∵∠3=∠2，
∴∠D+∠2=90°，
∵AF=AC，OD=OC，
∴∠1=∠2，∠D=∠4，
∴∠1+∠4=90°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
则OF=OE-EF=r-5，
在Rt△ODF中，
∵OD²+OF²=DF²，
∴r²+（r-5）²=（

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）²，
整理得r²-5r-6=0，
解得r₁=6，r₂=-1，
∴，⊙O的半径为6．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．