Question

6．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF，若AB=3，AD=4，则△BCF的周长为（　　）

• A． $\frac{13}{3}$
• B． $\frac{25}{3}$
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，根据矩形的性质得到∠A=∠ABC=90°，AD=BC，AE=BM=$\frac{1}{2}$AD=2，由折叠的性质得到AE=GE=2，∠EGN=∠A=90°，根据全等三角形的性质得到NG=NM，根据勾股定理得到EN=$\frac{13}{6}$，NM=$\frac{5}{6}$，根据三角形的中位线的性质得到CF=2NM=$\frac{5}{3}$，于是得到结论．

解答 解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE=BM=$\frac{1}{2}$AD=2，
由折叠的性质得：AE=GE=2，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM=2，
∵∠ENG=∠BNM，
在△ENG与△BNM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EGN=∠BMN=90°}\\{∠ENG=∠BNM}\\{EG=BM}\end{array}\right.$
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，
∴EN²=NG²+EG²，
∴EN²=2²+（3-EN）²，
∴EN=$\frac{13}{6}$，
∴BN=EN=$\frac{13}{6}$，
∴NM=$\frac{5}{6}$，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BF=2BN=$\frac{13}{3}$，
∴CF=2NM=$\frac{5}{3}$，
∴△BCF的周长=10，
故选C．

点评 此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．