Question

某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y₁（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y₂（元）与销售时间第x月满足函数关系式y₂=mx²-8mx+n，其变化趋势如图2所示．
 
（1）求y₂的解析式；
（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用,一次函数的应用

专题：销售问题

分析：（1）把函数图象经过的点（3，6），（7，7）代入函数解析式，解方程组求出m、n的值，即可得解；
（2）根据图1求出每千克的售价y₁与x的函数关系式，然后根据利润=售价-成本，得到利润与x的函数关系式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答即可．

解答：解：（1）由图可知，y₂=mx²-8mx+n经过点（3，6），（7，7），
∴

9m-24m+n=6 49m-56m+n=7

，
解得

m= 1 8 n= 63 8

．
∴y₂=

1

8

x²-x+

63

8

（1≤x≤12）；

（2）设y₁=kx+b（k≠0），
由图可知，函数图象经过点（4，11），（8，10），
则

4k+b=11 8k+b=10

，
解得

k=- 1 4 b=12

，
∴y₁=-

1

4

x+12（1≤x≤12），
∴每千克所获得利润=（-

1

4

x+12）-（

1

8

x²-x+

63

8

）
=-

1

4

x+12-

1

8

x²+x-

63

8

=-

1

8

x²+

3

4

x+

33

8

=-

1

8

（x²-6x+9）+

9

8

+

33

8

=-

1

8

（x-3）²+

21

4

，
∵-

1

8

＜0，
∴当x=3时，所获得利润最大，最大为

21

4

元．
答：第3月销售这种水果，每千克所获得利润最大，最大利润是

21

4

元．

点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（2）整理出利润的表达式并整理成顶点式形式．